Variables aleatorias distribuidas conjuntamente

   Función de probabilidad de masa conjunta = p(x, y) = P(X = x Y = y)
   Función de probabilidad de masa marginal = P_x(x) = p(x, y); P_y(y) = p(x, y)
   Función de densidad de probabilidad conjunta, para cualquier conjunto A bidimiensional:
   P[(x, y) A] = f(x, y)dxdy
Si A = {a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} => P[(x, y) A] = f(x, y)dydx donde f(x, y) ≥ 0 y f(x, y)dxdy = 1

Funciones de densidad de probabilidad marginal

   f_x(x) = f(x, y)dy; f_y(y) = f(x, y)dx; con -∞ < (x, y) < ∞

Variables aleatorias independientes

X e Y son independientes si para cada par de valores se cumple:
   p(x, y) = p_x(x)·p_y(y) (variables discretas) o f(x, y) = f_x(x)·f_y(y) (continuas)
Si no satisface esto entonces son dependientes.
   Ademas, si son independientes: P(a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d) = P(a ≤ x ≤ b) · P(c ≤ y ≤ d)

Más de dos variables aleatorias

Si son variables aleatorias discretas, entonces la pmf = p() = P(X₁ = x₁ ... X_n = X_n).
Si son continuas, entonces pdf = f() para cualquier intervalo [a₁, b₁] ... [a_n, b_n] y P(a_n ≤ x ≤ b_n) = f()dx_n
   La independencia es de la misma forma que para pares.

Distribuciones condicionales

La función de densidad de probabilidad condicional de Y dado que X=x es:
   f_y|x(y | x) = f(x, y) / f_x(x) para -∞ < y < ∞
   f_y|x(y | x)dx = 1
Si X e Y son independientes, entonces f_y|x(y | x) = f_y(y)
Si X e Y son discretas => al cambiar las pdf por pmf de la función de probabilidad de masa condicional de Y cuando X=x
Esperanza condicional: E(X | Y=y) = x·f_x|y(x | y)dx
Varianza condicional: V(X | Y=y) = E(X² | Y=y) - [E(X | Y=y)]²

Valores esperados

E[h(x, y)] =

• h(x, y)·p(x, y) si X e Y son variables aleatorias discretas
• h(x, y)·f(x, y)dxdy si X e Y son variables aleatorias continuas

La misma aplicación extendida sirve para varias variables: E(X ± Y) = E(X) ± E(Y)
   Si X e Y son independientes, entonces E(X · Y) = E(X) · E(Y). Si X e Y no son independientes, entonces E(X · Y) = X·Y·f_x,y(X, Y)dydx
   V(X ± Y) = E(X) + E(Y)

Covarianza

Cov(x, y) = E[(x - μ_x)(y - μ_y)] =

• (x - μ_x)(y - μ_y)·p(x, y) si X e Y son v.a. discretas
• (x - μ_x)(y - μ_y)·f(x, y)dxdy si X e Y son v.a. continuas

Cov(X, Y) = E(X·Y) - μ_x·μ_y; Cov(X, X) = V(X)
Si X e Y son independientes, entonces Cov(X, Y) = 0 (pero no al reves.)
V(X ± Y) = V(X) + V(Y) ± 2·Cov(X, Y)

Correlación

El coeficiente de correlacion de X e Y esta definido por:

• Corr(X, Y) = ρ_{x, y} = Cov(X, Y) / σ_x·σ_y

Si a y c son a la vez positivas o negativas => Corr (aX+b cY+d) = Corr (X, Y)
1 ≤ Corr (X, Y) ≤ 1, para cualquier X e Y
Si X e Y son independientes => ρ = 0, pero no al reves.
ρ = 1 o ρ = -1 Y = aX + b para algunos números a y b, con a ≠ 0