Variables aleatorias

   Variable de Bernoulli: cualquier variable aleatoria que solo tiene como valores al 0 y 1. Se puede expresar p(1)=a p(0)=1-a, donde a es menor que uno y mayor que cero.
   p(x, a) = {1 - a, si x = 0; a si x = 1; 0 de otro modo}

Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas

• p(X) = P(X = x) = P(toda s S: X(S) = x)
• Para toda pmf se cumple: p(X) ≥ 0 y  p(x) = 1

La funcion de distribucion acumulada

   Para dos numeros a,b con a £ b, P(a ≤ X ≤ b) = F(b) – F(a)
   F(x) = P(X ≤ x) =  P(y)

Esperanza para VAD

• E(x) = μ _x = x·p(x)
• E(h(x)) = μ_h(x) = h(x)·p(x)
• E(ax + b) = a·E(x) + b

Varianza para VAD

• V(X) = (x - μ)² · p(x) = E(x²) - (E(x))²
• DE = σ_x =
• V(aX + b) = a²·V(X)     σ_aX+b = |a|·σ_x

Distribución de probabilidad binomial

   Secuencia de n intentos (con n dado.) Intentos idénticos e independientes con resultados V o F. Probabilidad de éxito constante (p). X es el número de S (éxitos) en los n intentos.

• pmf = b(x; n, p) = ·p^x·(1-p)^n-x, x = 0, 1, ...; 0 de otro modo
• P(X ≤ x) = B(x; n, p) = b(y; n, p)
• E(X) = n·p, V(X) = n·p·(1-p)

Distribución hipergeométrica

   Población finita (N). Posibles resultados S o F, con M exitos en la población. Se eligen n individuos con igual probabilidad, para cada subconjunto, de ser elegido.

• P(X = x) = h(x; n, M, N) = , con x fluctuando entre: Max{0, n-N+M} ≤ x ≤ Min{n, M}
• E(X) = n·M/N, V(X) =

   Para calcular N si no lo conocemos: N' = M·n/x

Distribución binomial negativa

   Secuencia de intentos independientes, con S o F como posibles resultados. p(S) = k = p. El experimento continua hasta que se alcanzan r exitos. X es el número de fracasos antes del r éxito.

• pmf = nb(x; r, p) = ·p^r·(1-p)^x; si r = 1 nb(x; 1, p) = (1-p)x·p
• E(X) = r·(1-p)/p, V(X) = r·(1-p)/p²

Distribución de probabilidad de Poisson

• pmf = p(x; λ) = (λ > 0)
• Si n ≥ 100, p ≤ .01 y n·p ≤ 20 => b(x; n, p) ~ p(x, l), donde l = n·p
• E(X) = V(X) = λ