Contabilidad del crecimiento

Definiendo estas funciones: y = f(k), donde f(k) = F(k, 1), y PMaK = f(k+1) – f(k); podemos armar la ecuación de contabilidad del crecimiento:
     dY/Y = dA/A + a_K dK/K + a_N dN/N
Dinde dY/Y es la tasa de crecimiento del producto, dK/K la tasa de crecimiento del capital, dN/N la del empleo, dA/A la de la productividad; a_K es la elasticidad del producto respecto al capital y a_N la elasticidad del producto respecto al trabajo.
   Definimos luego algunos supuestos: la elasticidad de A es constante e igual a uno; las elasticidades de K y N dependen de la funcion de produccion; 1 ≥ a_K, a_N ≥ (es decir las PmaK y PmaN son positivas y decrecientes), de lo que se sigue que a_K + a_N = 1 (lo que implica que tienen rendimientos constantes a escala).
   Como dA/A no se puede calcular directamente, lo despejamos para deducirlo cuando averiguamos, si podemos, los otros valores:
     dA/A = dY/Y – a_K*dK/K – a_N*dN/N

     dY/Y = dA/A + a_K*dK/K + a_N*dN/N => a_K/N = PMaK/N * (K/N) / Y
     dY/Y = dA/A + (PMaK*K/Y)*dK/K + (PmaN*N/Y)*dN/N
     dY/Y = dA/A*Y/Y + PMaK*dK/Y + PMaN*dN/Y
     dY = dA/A*Y + PMaK*dK + PMaN*dN => Y = F(K,N)
     dY = dA/A*F(K,N) + PMaK*dK + PMaN*dN

     a_N = PMaN * N / Y = w * N / Y
     a_K = PMaK * K / Y = uc * K / Y
Estas dos ecuaciones implican que las elasticidades son la participacion del trabajo y el capital en el PBI.

   Crecimiento del producto sobre el trabajo:
     dY/Y - dN/N = dA/A + a_K(dK/K - dN/N)
     dY/Y - dN/N = dA/A + a_K*dK/K – a_K*dN/N => a_K+a_N= 1 => -a_K = as_N-1
     dY/Y - dN/N = dA/A + a_K*dK/K + (a_N-1)*dN/N
     dY/Y = dA/A + a_K*dK/K + (a_N-1)*dN/N + dN/N
     dY/Y = dA/A + a_K*dK/K + dN/N(a_N-1+1)
     dY/Y = dA/A + a_K*dK/K + a_N*dN/N
La diferencia entre el crecimiento del producto y el crecimiento de la productividad es la tasa de crecimiento de los insumos. Si el crecimiento de los insumos se mantiene mas o menos constante, se ve entonces que las diferencias de crecimientos las marcan la productividad.
   Esto quiere decir que todo error de medicion (suficientemente grande) que se cometa, se va a ver reflejado en A. Por ejemplo la energia (crisis del petroleo) puede influir mucho en el producto, y si no lo pongo como un factor mas dentro de la funcion de produccion tradicional, el cambio que esta variable produzca se va a ver reflejado en A. Esto hace que tambien calcule mal las elasticidades de los factores, ya que si tengo en cuenta un factor extra, tambien tengo que tener en cuenta la elasticidad de ese otro factor. Y como la suma de las elasticidades de todos los factores tiene que dar uno, cada factor que no considero me cambia las proporciones de esta cuenta.

     c = (1 – s)y => y = (1 – s)y + i => i = sy
     Tasa de crecimiento fija: N_t+1 = (1+n)*N_t
     Ecuacion fundamental: K_t+1 = I_t + (1-d)K_t con d = tasa de depreciacion.
   Para averiguar la funcion de produccion por trabajador (= poblacion = per capita), divido la ecuacion de la funcion de produccion por el numero de trabajadores:
     Y_t / N_t = F(K_t, N_t) / N_t
     Y_t / N_t = 1/N_t * F(K_t, N_t)
     Y_t / N_t = f(K_t / N_t, 1)
     y obtengo y_t = f(k_t), que es la funcion de produccion por trabajador.
Las caracteristicas de esta función son: f es creciente en k_t (es decir tiene pendiente positiva), y F tiene pendiente negativa (lo que implica una PmaK decreciente).