Queremos saber cual es la relación entre producto y consumo per capita a largo plazo; y la relacion entre ahorro, crecimiento de la poblacion y el cambio tecnológico. También como evoluciona el crecimiento a lo largo del tiempo (transición) y si existen fuerzas especiales que hacen que los países pobres alcancen a los ricos.
Consideraciones: ignorar el mercado laboral (suponemos que la oferta de trabajo es igual a la población y que crece a una tasa constante, decir per capita es lo mismo que por trabajador) y el comercio internacional. También consideramos que no hay gobierno. Simplificamos la oferta de ahorro y trabajo haciéndolas verticales.
La función de producción Y = (K, L) asume que los cambios en la producción solo se producirán por cambios en el capital, en el trabajo o en los dos. En el primer caso queremos saber cuanto aumenta la producción con un cambio en el capital (dK):
dY = PMaK * dK
El segundo caso es lo mismo con el trabajo:
dY = PMaL * dL
En el último caso podemos resumir los dos cambios así:
dY = (PMaK * dK) + (PMaL * dL)
Reacomodamos las ecuaciones para que nos quede:
dY/Y = (PMaK*K/Y) * dK/K + (PMaL*L/Y) * dL/L
La tasa de crecimiento de la producción queda relacionada con las tasas de crecimiento del capital y del trabajo.
Como PMaK = uc y PMaK * K es igual al retorno total del capital => PMaK * K / Y es la participacion del capital en la produccion.
Como PMaL = w/p y PMaL * L es igual a la compensación total por el trabajo => PMaL * L / Y es la participación del trabajo en el producto.
Asumiendo que la función de producción tiene rendimientos constantes a escala (el modelo de Solow asume que la funcion de produccion tiene rendimientos constantes a escala, es decir: zY = F(zK, zN), donde z es una constante) y usando el teorema de Euler que nos dice que estas dos participaciones tienen que ser igual a uno, tenemos que:
dY / Y = a * dK / K + (1-a) * dL / L
donde "a" es la participación del capital en el producto y "1-a" la del trabajo.
Progreso técnico o tecnológico El progreso tecnológico hace que para los mismos niveles de capital y trabajo aumente la producción. Se simboliza con una "A" que representa el nivel de tecnologia (es decir, la productividad total de los factores.) Entonces la función de producción agregada queda:
Y = A * F(K,N)
y la ecuacion de contabilidad del crecimiento queda:
dY / Y = a * dK / K + (1-a) * dL / L + dA / A
donde dA / A son los cambios en la producción que no se pueden explicar por cambios en los inputs (o factores de producción.)
La ecuación: dA / A = (1-a) * dE / E nos permite medir las tres fuentes del crecimiento economico que veremos enseguida.
Fuentes del crecimiento económico Las fuentes del crecimiento son tres:
- (a) Crecimiento en el capital (aK * dN / N)
- (b) Crecimiento en el empleo (aN * dN / N)
- (c) Crecimiento en la productividad (dA / A)
El capital por si solo no explica el crecimiento económico, ya que se llega siempre a un punto de Estado Estacionario (EE) en el que el capital y la producción se vuelven constantes. Por otra parte dado que asumimos que la PEA (Población Económicamente Activa) es igual a la poblacion total, podemos suponer una tasa de crecimiento de ésta constante en el tiempo. En esta situación el crecimiento de la poblacion reduce el capital per capita, donde el cambio en el capital pasa a ser:
dk = s * f(k) – (n + d) * k (antes habiamos considerado n = 0)
En esta fórmula n * k muestra el nivel de inversión necesario para proveer de capital a los nuevos trabajadores. Como la producción per capita en EE es constante, el crecimiento de la poblacion no puede explicar el sostenido crecimiento de los estándares de vida, pero si puede explicar el crecimiento sostenido en la producción total.
Una tasa alta de crecimiento de la población (n) significa menos capital per capita en EE. Luego un alto crecimiento poblacional tiende a empobrecer a los paises ya que es difícil mantener un alto nivel de capital por trabajador, cuando el número de éstos crece muy rápido. En esta situación, según el modelo, los paises con una tasa n muy elevada van a tener un PBI per capita bajo.
La condicion con la que determinamos la Golden Rule pasa a ser: PMaK = d + n => PmaK – d = n Para explicar el crecimiento en la produccion que no se puede aclarar con el capital y el trabajo usamos la productividad, entendida como la eficiencia del trabajo. Es decir refleja los conocimientos de la sociedad sobre los metodos de produccion (educacion, salud y habilidades de la fuerza laboral). A medida que la tecnologia disponible evoluciona, tambien lo hace la eficiencia laboral.
Si definimos: Y = F(K, LxE) (con LxE = unidades de eficiencia) y para simplificar consideramos que la eficiencia crece a una tasa constante g, por lo que LxE crece a una tasa (n+g).
En vez de averiguar los valores per capita, ahora lo hacemos por unidad de eficiencia:
k = K/LxE, y = Y/LxE => y = f(k)
Dk = sf(k) – (d + n + g)*k
La g resta porque si es muy grande el numero de unidades de eficiencia crece rapido y la cantidad de capital por unidad tiende a caer. Pero esto no cambia el analisis del EE. El progreso tecnologico puede llevar a un sostenido crecimiento en la produccion per capita, mientras que una alta tasa de ahorro solo lleva a un punto de EE.
Conclusion: este modelo dice que solo el progreso tecnologico puede explicar los crecientes estandares de vida.
La Golden Rula cambia a: c* = f(k*) – (d + n + g)k*, donde PMaK = d + n + g => PMaK –d = n + g | 