Estado Estacionario

   Lo que queremos ver es si se llega a un punto (cota) donde la economia deja de crecer. Para eso analizamos varios periodos de tiempo sucesivos.
   Definimos el Estado Estacionario (EE) como una situacion (un valor de k) tal que k_t, y_t y c_t son constantes a traves del tiempo.
   Sabemos que hay dos fuerzas que cambian el stock de capital: la inversion (el stock de capital aumenta conforme aumenta la inversion) y la depreciacion (el stock baja en la medida que el capital se desgasta). El ahorro es clave en la determinacion del stock de capital en EE. Si la tasa de ahorro es alta la eonomia va a tener un gran stock de capital y una gran produccion y vicecersa. Un mayor ahorro lleva a un rapido crecimiento pero solo en el corto plazo. Si se mantiene alto s (la tasa de ahorro) se mantiene el gran stock de capital y la gran produccion, pero el crecimiento va a disminuir hasta llegar al EE. Entonces el cambio en el stock de capital se da por la diferencia entre la inversion y la depreciacion:
     Dk = i – dk => Dk = sf(k) – dk
   En el estado estacionario el cambio en el stock es cero por lo que el punto donde se llega a este estado es cuando sf(k) = dk. Otra forma de llegar al capital en EE es: k/f(k) = s/d donde f(k), s ,d son datos dados.

   Si empezamos con un stock de capital inferior al k* del Estado Estacionario entonces, como la inversion es mayor que la depreciacion, el capital va a crecer. Si en cambio el k inicial es mayor al k*, la depreciacion es mayor a la inversion, por lo que nuestro stock de capital disminuye.
    El nivel de inversion necesario para manterner el capital per capita constante (o sea tal que k_t+1 = k_t) es: I_t = (n+d)*K_t. Esto quiere decir que se reemplazan las maquinas obsoletas (d*K_t) y se proveen nuevas maquinas a los nuevos trabajadores (n*K_t), y así se mantiene K_t/N_t constante. Formalmente:
     (1) N_t+1 = (1+n)*N_t => N_t = N_t+1/(1+n)
     (2) K_t+1 = I_t + (1-d)*K_t => K_t+1 / N_t = I_t/N_t + (1-d)*K_t/N_t
     (1+2) K_t+1/[N_t+1/(1+n)] = I_t/N_t + (1-d)*k_t
      => k_t+1*(1+n) = I_t/N_t + (1-d)*k_t
      Considero k_t+1 = k_t => k_t+1*(1+n) – (1-d)*k_t = I_t/N_t
      => k_t(n+d) = I_t/N_t => K_t(n+d)/N_t = I_t/N_t => I_t = K_t(n+d)
   Para encontrar el consumo en EE partimos de que:
      y = c + i => c = y – i
Como en EE tenemos que y = f(k*) y que i = dk* tenemos que:
     c* = f(k*) – (n+d)k*
Es decir el consumo es la diferencia entre la produccion y la depreciacion.

Politica economica: ¿Esta la tasa de ahorro bien o es muy alta o muy baja?
Respuesta: para evaluar la tasa de capital acumulado, hay que comparar la tasa de crecimiento (n + g) y el rendimiento neto del capital (PMaK – d). Si PMaK – d > (n + g) entonces la economia tiene menos capital del necesario para llegar al EE de Golden Rule, por lo que subir la tasa de ahorro significaria un mayor consumo. Si PMaK – d < (n + g) entonces la economia tiene demasiado capital: bajando la tasa de ahorro se consigue un mayor consumo.

Golden Rule

   El punto Golden Rule es el nivel de capital acumulado en el EE donde se consigue el maximo consumo. En este punto la pendiente de la curva de la funcion de produccion es la misma que la de la recta de depreciacion. Un cambio en el capital en EE se calcula como:
      Dk* = f(k*+1) – f(k*) donde f(k*+1) = PMaK
Como la depreciacion de una unidad mas de capital es d, entonces el efecto de una unidad mas de k en el consumo es PMaK – d, por lo que el el punto Golden Rule:
      PMaK = d => PMaK –d = 0
La eleccion de un determinado nivel de capital en EE como el del Golden Rule implica la eleccion de una determinada tasa de ahorro, si esta es muy alta tambien lo va a ser el capital y viceversa.
Pregunta: ¿Qué pasa con el consumo, la inversion y el capital en el momento en que hacemos una transicion entre dos EE? Respuesta: depende del capital inicial:
     (a) Si k > kg* => se baja la tasa de ahorro => en t₀ aumenta el consumo y baja la inversion => I < d => t_>0: gradualmente, a medida que baja el stock de capital, baja la produccion, el consumo y la inversion hasta llegar al nuevo EE (de Golden Rule).
     (b) Si k < kg* => se sube la tasa de ahorro => en t₀ aumenta el consumo y baja la inversion => I > d => t_>0: gradualmente aumenta el stock de capital, la produccion, el consumo y la inversion.
   Mientras que en el primer caso el consumo, en el trayecto de un EE al otro, es siempre mayor al consumo inicial, en el segundo caso se requiere de un menor consumo al principio para lograr uno mayor despues.