Operaciones que no cambian el conjunto de soluciones: |
| Multiplicar a una ecuación por un número distinto de cero. |
| Cambiar las ecuaciones de orden. |
| Sumar a una ecuación un multiplo (positivo o negativo) de otra. |
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Matriz de Gauss-Jordan: |
Una matriz esta en forma de Gauss-Jordan si cumple las siguientes condiciones: |
| Las filas nulas estan en la parte inferior de la matriz. |
| Si una fila no es nula, entonces el primer elemento (de izquierda a derecha) es un uno. Estos unos se llaman pivotes. |
| Los pivotes de más arriba estan a la izquierda de los pivotes de abajo. |
| Las columnas que contienen a los pivotes tienen ceros en los demas lugares. |
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Como hallar todas las soluciones: |
Si alguna de la ecuaciones es de la forma 0 = número distinto de cero entonces el sistema de ecuaciones lineal no tiene
solución. Si no hay ecuaciones de este tipo el sistema va a tener solución. |
Si la cantidad de pivotes es igual a la cantidad de incognitas, entonces: o bien el sistema no tiene solución o bien existe
una única solución. |
Si la cantidad de pivotes es menor a la cantidad de incognitas, entonces el sistema: o bien no tiene solución o bien tiene
infinitas soluciones. |
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Aplicaciones de Gauss-Jordan: |
El rango de la matriz A es la cantidad de pivotes de la matriz de Gauss-Jordan de A. |
Dada una matriz A de m x n: |
| Si el rango de A es n, entonces el sistema A·x = b tiene o bien una solución o bien no tiene solución. |
| Si el rango de A es menor que n, entonces el sistema A·x = 0 tiene infinitas soluciones. |
| Si el rango de A es m, entonces el sistema A·x = b tiene soluciones para cualquier b. |
| Si el rango de A es menor que m, entonces el sistema de ecuaciones A·x = b no puede tenes soluciones para todo b. |
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Dada una matriz A de n x n (es decir cuadrada), si el rango de A es n, entonces existe una matriz inversa de A. Si A tiene inversa,
entonces el sistema de ecuaciones A·x = b tiene como única solución x = A-1·b. |
